Thực đơn
Độ cong Độ cong của một đường congTheo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R {\displaystyle R} là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong κ {\displaystyle \kappa } chính là nghịch đảo của bán kính cong R {\displaystyle R} .
κ = 1 R {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}}Gọi d s {\displaystyle ds} là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:
κ = d ϕ d s {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}}Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số { x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} , từ phần trên ta có định nghĩa:
κ = d ϕ d s = d ϕ d t d s d t = d ϕ d t ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = d ϕ d t x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa ϕ {\displaystyle \phi } là góc tiếp tuyến của đường cong.
tan ϕ = d y d x = d y d t d x d t = y ′ x ′ {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}}Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t {\displaystyle t} ta được:
d d t ( tan ϕ ) = ( 1 + tan 2 ϕ ) d ϕ d t = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}}⇔ d ϕ d t = 1 1 + tan 2 ϕ x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = 1 1 + ( y ′ x ′ ) 2 x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}
Kết hợp các kết quả thu được ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}}Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} thì độ cong được tính như sau:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r ( θ ) {\displaystyle r=r(\theta )} thì độ cong được tính như sau:
κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}Đường thẳng { x = t y = a t + b {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}} hay y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} sẽ có độ cong được tính như sau:
x ′ = 1 , x ″ = 0 , y ′ = a , y ″ = 0 , d y d x = a , d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = 1 ⋅ 0 − a ⋅ 0 ( 1 2 + a 2 ) 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0}hay công thức:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 0 [ 1 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.
Đường tròn { x = R cos t y = R sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}} hay r = R {\displaystyle r=R} sẽ có độ cong được tính như sau:
x ′ = − R sin t , x ″ = − R cos t , y ′ = R cos t , y ″ = − R sin t , d r d θ = 0 , d 2 r d θ 2 = 0 {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0}Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − R sin t ) ⋅ ( − R sin t ) − ( R cos t ) ⋅ ( − R cos t ) [ ( − R sin t ) 2 + ( R cos t ) 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}hay công thức:
κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 = R 2 + 2 ⋅ 0 2 − R ⋅ 0 [ R 2 + 0 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
Áp dụng công thức ta có:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + ( 2 a x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a ( 1 + 4 a 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − a sin t ) ⋅ ( − b sin t ) − ( b cos t ) ⋅ ( − a cos t ) [ ( − a sin t ) 2 + ( b cos t ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ ( a y b ) 2 + ( b x a ) 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 ( 1 − x 2 a 2 ) + b 2 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ a 2 − ( 1 − b 2 a 2 ) x 2 ] 3 / 2 = a b ( a 2 − e 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}với e = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}} là tâm sai của ellipse.
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}} được tính theo công thức
κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}Thực đơn
Độ cong Độ cong của một đường congLiên quan
Độ Động vật Động vật Chân khớp Đội tuyển bóng đá quốc gia Việt Nam Đội tuyển bóng đá U-23 quốc gia Việt Nam Động vật có dây sống Động đất Đội tuyển bóng đá U-23 quốc gia Hàn Quốc Đội tuyển bóng đá quốc gia Anh Đội Thiếu niên Tiền phong Hồ Chí MinhTài liệu tham khảo
WikiPedia: Độ cong